Η μέτρηση, η σύγκριση και η μελέτη των γωνιών αποτελούν θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας, επιτρέποντας τον προσδιορισμό του «ανοίγματος» μεταξύ δύο ημιευθειών με κοινή αρχή.
0.1 1. Μέτρηση Γωνιών
- Όργανο Μέτρησης: Οι γωνίες μετρώνται με το μοιρογνωμόνιο, το οποίο είναι βαθμολογημένο από \(0^\circ\) έως \(180^\circ\).
- Μονάδες Μέτρησης: Μονάδα μέτρησης είναι η μοίρα (\(1^\circ\)). Η μοίρα υποδιαιρείται σε 60 πρώτα λεπτά (\(1^\circ = 60'\)) και κάθε πρώτο λεπτό σε 60 δεύτερα λεπτά (\(1' = 60''\)).
- Μέτρο Γωνίας: Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση ονομάζεται μέτρο της γωνίας. Το μέτρο εξαρτάται μόνο από το άνοιγμα των πλευρών και όχι από το μήκος τους.
- Συμβολισμός: Όταν γράφουμε μια γωνία με τρία γράμματα, το σύμβολο της γωνίας μπαίνει στο μεσαίο γράμμα που αντιστοιχεί στην κορυφή.
0.2 2. Σύγκριση και Ισότητα Γωνιών
- Ισότητα: Δύο γωνίες ονομάζονται ίσες όταν έχουν το ίδιο μέτρο. Γεωμετρικά, δύο γωνίες είναι ίσες αν συμπίπτουν όταν τοποθετηθούν η μία πάνω στην άλλη.
- Διαδικασία Σύγκρισης: Για να συγκρίνουμε δύο γωνίες, τις μετατοπίζουμε ώστε να έχουν κοινή κορυφή και μία κοινή πλευρά.
- Αν η δεύτερη πλευρά της μίας συμπίπτει με τη δεύτερη πλευρά της άλλης, οι γωνίες είναι ίσες.
- Αν η πλευρά βρίσκεται στο εσωτερικό της άλλης γωνίας, τότε η πρώτη γωνία είναι μικρότερη.
- Αν η πλευρά βρίσκεται στο εξωτερικό της άλλης γωνίας, τότε η πρώτη γωνία είναι μεγαλύτερη.
Στο παρακάτω miniapp μετακινήστε τα σημεία Α,Β,Γ και Δ για να τους αλλάξετε θέση.
Τι παρατηρείτε για τις γωνίες; Πότε μια γωνία γίνεται μεγαλύτερη από την άλλη;Ποια είναι η θέση των πλευρών τους σε αυτή τη περίπτωση;
Πότε γίνονται ίσες; Ποια είναι η θέση των πλευρών τους σε αυτή τη περίπτωση;
0.3 3. Διχοτόμος Γωνίας
- Ορισμός: Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.
- Μοναδικότητα: Κάθε γωνία έχει μία και μοναδική διχοτόμο.
- Τρόποι Κατασκευής: Η κατασκευή της διχοτόμου μπορεί να γίνει με δίπλωση του χαρτιού, με το μοιρογνωμόνιο ή με χάρακα και διαβήτη.
Στο παρακάτω miniapp μετακινήστε τα σημεία Ο,Β και Γ για να τους αλλάξετε θέση.
Τι παρατηρείτε για την διχοτόμο;
0.4 4. Σημαντικές Ιδιότητες και Θεωρήματα
- Στο Τρίγωνο: Οι τρεις διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται έγκεντρο και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.
Σύρετε τις κορυφές του τριγώνου.
Τι παρατηρείτε;
Τί συμβαίνει με το σημείο τομής των διχοτόμων;
Τι παρατηρείτε για τον κύκλο;
- Στο Ισοσκελές Τρίγωνο: Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος. Επίσης οι προσκείμενες στην βάση του γωνίες είναι ίσες.
Αλλάξτε την θέση των κορυφών του τριγώνου.
Τι παρατηρείτε για την διάμεσο ΑΜ και τις γωνίες του τριγώνου;
Είναι η ΑΜ διάμεσος; Γιατί;
Είναι η ΑΜ διχοτόμος; Γιατί;
Ακολουθεί μια συλλογή ασκήσεων ταξινομημένη ανά θεματική ενότητα, βασισμένη στις πηγές, για την εμπέδωση των εννοιών της μέτρησης, της σύγκρισης και της διχοτόμου γωνιών:
0.5 1. Ασκήσεις Μέτρησης και Κατασκευής Γωνιών
Χρήση Μοιρογνωμονίου: Σχεδιάστε μια γωνία \(30^\circ\) χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο. Θυμηθείτε ότι το μοιρογνωμόνιο είναι βαθμολογημένο από \(0^\circ\) έως \(180^\circ\).
Μέτρηση σε Τρίγωνα: Σχεδιάστε μια ορθή γωνία \(xOy = 90^\circ\). Πάρτε σημείο \(A\) στην \(Ox\) ώστε \(OA = 3,5 \text{ cm}\) και βρείτε σημείο \(B\) στην \(Oy\) ώστε \(AB = 7 \text{ cm}\). Μετρήστε με το μοιρογνωμόνιο τις γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{B}\) του τριγώνου \(OAB\).
Πρακτική Εφαρμογή: Ένα πλοίο διανύει \(100 \text{ km}\) προς Βορρά και μετά στρίβει δεξιά κατά \(60^\circ\). Μετά από \(60 \text{ km}\) πορείας, στρίβει αριστερά κατά \(25^\circ\). Χαράξτε την πορεία σε κλίμακα και μετρήστε τη γωνία της τελευταίας πορείας με τον άξονα Βορρά-Νότου.
0.6 2. Ασκήσεις Σύγκρισης και Ισότητας Γωνιών
Γεωμετρική Σύγκριση: Συγκρίνετε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου χρησιμοποιώντας διαφανές χαρτί ή μοιρογνωμόνιο. Διαπιστώστε ότι είναι ίσες.
Ισόπλευρο Τρίγωνο: Συγκρίνετε τις τρεις γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου. Θυμηθείτε ότι κάθε γωνία ισοπλεύρου τριγώνου είναι \(60^\circ\).
Σχέσεις Μεγεθών: Αν έχετε δύο γωνίες \(x\hat{O}y\) και \(z\hat{O}t\) και η μία πλευρά της δεύτερης πέφτει στο εσωτερικό της πρώτης (με κοινή κορυφή και μία κοινή πλευρά), ποια γωνία είναι μεγαλύτερη;.
0.7 3. Ασκήσεις για τη Διχοτόμο Γωνίας
Κατασκευή με δύο Τρόπους: Κατασκευάστε τη διχοτόμο μιας τυχαίας γωνίας \(yOx\) με: (α) δίπλωση χαρτιού, (β) μοιρογνωμόνιο .
Διχοτόμοι Ειδικών Γωνιών: Σχηματίστε γωνίες \(46^\circ, 86^\circ, 100^\circ\) και \(90^\circ\) και σχεδιάστε τις διχοτόμους τους με κανόνα και διαβήτη.
Υπολογισμός Μέτρου: Πόσες μοίρες είναι οι γωνίες στις οποίες χωρίζεται από τη διχοτόμο της: (α) μια πλήρης γωνία, (β) μια ευθεία γωνία και (γ) μια ορθή γωνία;.
Ιδιότητες στο Τρίγωνο: Σε ένα τρίγωνο \(ABC\) με \(\hat{A} = 40^\circ\) και \(\hat{B} = 60^\circ\), βρείτε τη γωνία \(\hat{C}\) και σχεδιάστε τις τρεις διχοτόμους του. Θυμηθείτε ότι οι τρεις διχοτόμοι κάθε τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.
0.8 4. Συνδυαστικές Ασκήσεις και Υπολογισμοί
Συμπληρωματικές Γωνίες: Υπολογίστε δύο γωνίες αν γνωρίζετε οτι έχουν άθροισμα 90 και η μία είναι διπλάσια ή τριπλάσια της άλλης.
Παραπληρωματικές Γωνίες: Βρείτε δύο γωνίες που έχουν άθροσμα 180 και η μία είναι τετραπλάσια της άλλης.
Άθροισμα Εφεξής Γωνιών: Δίνονται δύο γωνίες \(x\hat{O}y = 30^\circ\) και \(y\hat{O}z = 50^\circ\) που έχουν κοινή κορυφή και μία κοινή πλευρά και οι διχοτόμοι τους \(O\delta_1\) και \(O\delta_2\). Υπολογίστε τη γωνία \(\hat{xO\delta_2}\) και συγκρίνετέ τη με τη \(\hat{xOz}\).
Πρακτική Συμβουλή: Όταν γράφετε μια γωνία με τρία κεφαλαία γράμματα, το σύμβολο της γωνίας πρέπει να μπαίνει πάντα στο μεσαίο γράμμα που δείχνει την κορυφή.
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !